Distance de deux points dans un repère orthonormé - Milieu d'un segment

A et B étant deux points dans un repère orthonormé de coordonnées respectives :
(xA;yA) et (xB;yB) , xA et yA étant les coordonnées de A ; xB et yB étant les coordonnées de B.
M (xM;yM) étant le milieu du segment

Exercice 1 :

Dans un repère orthonormé (O;I;J) on considère les points :
A(-2;1) ; B(1;2) et C(2;-1)
1) Calculer AB² ; BC² et AC²
2) Quelle est la nature du triangle ABC ?

Solution :

1) AB² = (xB-xA)² + (yB-yA)²   AB² = (1-(-2))² + (2-1)²      AB² = (3)² + (1)²    AB² = 10
     BC² = (xC-xB)² + (yC-yB)²   BC² = (2-1)² + (-1-2)²       BC² = (1)² + (-3)²   BC² = 10
     AC² = (xC-xA)² + (yC-yA)²   AC² = (2-(-2))² + (-1-1)²   AC² = (4)² + (-2)²   AC² =  20


2) AB² = BC²    AB et BC étant positifs, AB = BC =
D'autre part, 20 = 10 + 10, donc AC² = BC² + AB², d'après la réciproque de Pythagore, le
triangle ABC est rectangle en B. Le triangle ABC est donc rectangle isocèle de sommet B.

Exercice 2 :

Dans un repère orthonormé (O;I;J) on considère les points :
A(-2;-1) ; B(2;3) et C(-4;5) . Démontrer que C appartient à la médiatrice de

Solution :
Si le point C appartient à la médiatrice de , C est équidistant des extrémités A et B, donc
CA = CB  ou CA² = CB². Calculons CA² et CB².
CA² = (xA-xC)² + (yA-yC)²    CA² = (-2-(-4))² + (-1-5)²   CA² = (2)² + (-6)²     CA² = 4 + 36  CA² = 40
CB² = (xB-xC)² + (yB-yC)²    CB² = (2-(-4))² + (3-5)²     CB² = (6)² + (-2)²      CB² = 36 + 4  CB² = 40
CA² = CB² donc CA = CB, C est équidistant des extrémités A et B du segment et C appartient
donc à la médiatrice du segment


Exercice 3 :

Dans un repère orthonormé (O;I;J) on donne les points A, B et C suivants :
A(-1;3) ; B(-4;0) ; C(3;-1).
1) Calculer AB, AC et BC. et préciser la nature du triangle ABC.
2) Calculer le périmètre et l'aire du triangle ABC.
3) Calculer les coordonnées du centre M du cercle circonscrit au triangle ABC et son rayon.

Solution :

1)AB² =(xB-xA)² + (yB-yA)²   AB² = (-4-(-1))² + (0-3)²  AB² = (-3)² + (-3)²   AB² = 18  AB=

   AC² = (xC-xA)² + (yC-yA)²  AC² = (3-(-1))² + (-1-3)²  AC² = (4)² + (-4)²    AC² = 32  AC=
   BC² = (xC-xB)² + (yC-yB)²  BC² = (3-(-4))² + (-1-0)²  BC² = (7)² + (-1)²    BC² = 50  BC =
On a 50 = 32 + 18 soit BC² = AC² + AB² , d'après la réciproque de Pythagore, le triangle ABC est
rectangle en A.

2)Périmètre(ABC) = AB + AC + BC =
Aire (ABC) =

Remarque : si OI = OJ = 1 cm, alors Périmètre(ABC) =
et Aire(ABC) = 12 cm².
3)Comme ABC est rectangle en A, le centre M du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse .


Figure : 

Retour menu Maths
Retour accueil