Système de deux équations à deux inconnues

 

I) Résolution par substitution: Dans une équation, on exprime une inconnue en fonction de l'autre puis on remplace dans l'autre équation.

Cette méthode est valable lorsque les coefficients de x ou de y sont égaux à 1 dans l'une des équations car il est alors facile d'exprimer x en fonction de y ou y en fonction de x. Dans le cas contraire, les calculs sont plus compliqués.

II) Résolution par addition (par combinaison linéaire):

Ici, nous avons éliminé l'une des inconnues (y) en additionnant membre à membre car il y avait deux termes opposés 2y et -2y. Si ce n'est pas le cas, on multipliera d'abord l'une ou les deux des équations pour faire apparaître des termes opposés.

  

 

 Dans le système suivant, décidons d'éliminer les "x". On va multiplier la première équation par 3 et la deuxième par 4 : On fera donc apparaître les termes 12 x et -12 x. Remarque : 12 est un multiple commun à 4 et à 3.

 

                         

On obtient donc le système :

En ajoutant membre à membre :

Comme précédemment, on pourrait remplacer la valeur de y trouvée dans l'une des équations mais ici les calculs sont plus compliqués. On peut alors reprendre le système initial et décider cette fois d'éliminer les "y".

 

On va multiplier la première équation par 5 et la deuxième par - 3. On va donc faire apparaître les termes 15 y et - 15y.------------------------------------------->

On obtient donc :

En ajoutant membre à membre :

 

La solution du système est donc :


III) Etude d'un cas particulier, utile pour les résolutions graphiques :

 

Soit le système : On a immédiatement :
En reportant par exemple dans la première équation on obtient :
La solution du système est donc :

IV) Résolution graphique : 

Nous ne verrons que des exemples simples, lorsque les équations sont sous la forme y = ax + b ou lorsqu'on peut facilement
exprimer y en fonction de x.

On va représenter graphiquement les fonctions définies par y = 2x +1 et y = - 3x + 6

 

0 -2 1
1 -3 3

 

0 1 3
6 3 - 3

 

 

La solution du système est donnée par les coordonnées du point d'intersection A ; on a A(1 ; 3), donc la solution 
du système est (1 ; 3)

Autre exemple, résoudre graphiquement le système :

On exprime y en fonction de x et on représente graphiquement les deux fonctions trouvées.

 

La solution du système est donc (- 2 ; -1). 
Remarque : Dans certains cas la lecture de la solution sera approximative si les valeurs "ne tombent pas juste". Une solution
par le calcul sera nécessaire.


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